Hablamos dentro de la rama de Prestashop 1.6
Imaginemos que tu tienda tiene la versión 1.6.1.14 de Prestashop y has actualizado a Prestashop 1.6.1.17 y te funcionan todos los emails, menos el formulario de contacto.
En el fichero:
/themes/TuPlantilla/contact-form.tpl
Añade dentro de (y encima del botón de enviar) :
<div class=”submit”>
Las siguientes lineas de código:
<input type="text" name="url" value="" class="hidden" /> <input type="hidden" name="contactKey" value="{$contactKey}" />
En esta captura podéis ver la localización exacta:

No se os olvide limpiar la caché de Prestashop => Revisar información
Era mi caso. Siempre aparecía ERROR 1 cuando pulsaba enviar despues de pasar de la 1.6.1.14 a las 1.6.1.18.
He modificado la línea de código que proponías y tachan! FUNCIONANDO.
MUCHAS GRACIAS Victor por compartir tu conocimiento. No paro de leer tu blog y tus respuestas altruistas en el foro de prestashop, eres un GRAN profesional.